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作者 | K. Delphino
译者 | Linstancy
编辑 | Rachel
出品 | AI科技大本营（id：rgznai100）
【导读】在推荐系统的相关研究中，我们常常用到两个相关概念：矩阵分解和奇异值分解。这两个概念是同一种算法吗？两者到底有什么差别？在本文中，作者梳理了两种算法的概念、来源和内容，并进行了比较。通过对相关内容的梳理，作者提出，矩阵分解是推荐系统中最初使用的概念，奇异值分解是对该方法的进一步发展。在现在的讨论中，一般将两种方法统一成为奇异值分解。
在 Andrew Ng 教授的机器学习课程中，介绍推荐系统时经常涉及矩阵分解、奇异值分解等数学知识，这些概念并不是很好理解。在 Andrew Ng 教授的课程提到了一种称为称为 (低因子) 矩阵分解的方法，而在 Google 搜索会得到另一个名称：奇异值分解。网络资源中对于该算法的解释和 Andrew Ng 教授存在差异，但很多人都认为这两个名称指的是同一种算法。为了更好的梳理这两个概念，在本文中，我对两者进行了分别介绍，并对比了它们的不同。
推荐系统
推荐系统 (Recommender Systems， RS) 是一种自动化的针对用户的内容推荐方式，被广泛用于电子商务公司，流媒体服务 (streaming services) 和新闻网站等系统。根据用户的喜好，推荐系统能够投其所好，为用户推荐一些合适的内容，以便减少用户筛选过程中一些不必要的麻烦。
推荐系统并不是一种全新的技术，相关概念最晚在1990年就出现了。事实上，当前的机器学习热潮，一部分要归因于人们对 RS 的广泛关注。 在2006年，Netflix 赞助了一场为电影寻找最佳推荐系统的竞赛，在当时引起了一片轰动，也让推荐系统再次得到了广泛的关注。
矩阵表示
我们可以有很多种方式来向别人推荐一部电影。其中一种效果较好的策略，是将用户对电影的评分看做一个用户 x 电影矩阵，如下所示：
在该矩阵中，问号代表用户未评分的电影。随后，只需要以某种方式预测来用户对电影评分，并向用户推荐他们可能喜欢的电影。
矩阵分解
在 Netflix 举办的比赛上，参赛者 Simon Funk 提出了一个很好的想法，即用户对电影的评分不是随给出的。用户会基于一定的逻辑，针对电影中他所所喜欢的部分 (如特定的女演员或类型) 和不喜欢的情节 (长时间或糟糕的笑话) 赋予不同的权重，并进行加权计算，最后得到一个分数作为该电影的评分。这个过程可以用如下公式表示：
其中 xm 是电影 m 特征值的一个列向量，而 θᵤ 是另一个列向量，表示用户 u 赋予每个电影特征的权重。每个用户都有不同的权重集合，而每个电影的特征也对应不同的特征集合。
事实证明，如果能够任意地修改特征的数量并忽略所缺失的那部分电影评分，那么就可以找到一组权重和特征值，依据这些值所创建新矩阵与原始的评分矩阵是很接近的。这一过程可以通过梯度下降来实现，且类似于线性回归中所使用的梯度下降，只不过我们需要同时优化权重和特征这两组参数。以上文提供的用户-电影矩阵为例，优化后得到的结果将生成如下新的矩阵：
值得注意的是，在大多数真实数据集中，生成的结果矩阵并不会精确地与原始矩阵保持一致。因为在现实生活中，用户不会对通过矩阵乘法和求和等操作对电影进行评分。大多数情况下，用户对电影进行评分只是一种主观性的行为，且可能受到各种外部因素的影响。尽管如此，这里所介绍的方法还是希望通过数学公式来表达用户在电影评分时的主要逻辑。